対数平均温度差LMTDとは？並流・向流の計算例と温度の組み合わせ

対数平均温度差（LMTD）とは、熱交換器内で変化する2流体間の温度差を、全体の伝熱量計算に用いる代表値へまとめたものです。両端の温度差を自然対数で平均し、伝熱面積や交換熱量を求めます。

計算で大切なのは、入口と出口という名前より、熱交換器の同じ端にある温度を組み合わせることです。並流と向流では低温側の入口が反対になるため、引き算する相手も変わります。

この記事では、LMTDの意味、並流・向流の温度の組み合わせ、150℃から100℃へ冷却する計算例を順に解説します。端の温度差が等しい場合や凝縮蒸気、実測値から性能を調べる方法も整理します。

対数平均温度差LMTDとは？

熱交換器では、高温流体が熱を渡し、低温流体がその熱を受け取ります。隔壁を介して交換する場合、熱を動かす元になるのは、その場所における高温側と低温側の温度差です。

高温流体は流れるにつれて冷え、低温流体は流れるにつれて温まるため、両者の温度差も場所ごとに変化します。一つの入口温度差だけで全体を計算すると、出口付近の小さな温度差を反映できません。

図1：熱交換は壁の両側にある局所的な温度差で進む

二重管の一部を開いて示した模式図です。流体は混ざらず、熱が内管の壁を横切ります。

図は横にスクロールできます。

配置と矢印は原理を示すもので、壁の厚さや寸法の設計値ではありません。

LMTDは、この変化する温度差を伝熱計算に合う形で平均した値です。英語のLogarithmic Mean Temperature Differenceを略したもので、日本語では対数平均温度差と呼びます。

両端の温度差をΔT_a、ΔT_bとすると、LMTDは次の式で求められます。それぞれの端で、同じ位置にある高温側温度から低温側温度を引いた差を使います。

この式は、微小な伝熱面での熱移動を全体にわたって積分すると得られます。熱通過率一定などの仮定を満たす並流・向流のモデルでは、伝熱量に対応する代表温度差を理論的に求めた値です。

伝熱量は、伝熱面積A、熱通過率U、LMTDの積として計算できます。必要面積を求める場合はこの式を変形し、熱交換器の伝熱面積の計算へつなげます。

温度差の平均と流体温度の平均を区別する

LMTDが平均する対象は、2流体の温度そのものではなく、熱を伝える温度差です。高温入口と高温出口だけを平均した値や、高温入口と低温入口の平均温度とは意味が異なります。

流体の代表温度は、比熱や粘度などの物性値を選ぶときにも使います。その温度で決めた物性値と、伝熱の駆動力であるLMTDを分けて扱うと、計算書の各欄を整理できます。

流体が失う熱量は流量と比熱と温度変化から計算でき、壁を横切る伝熱量と対応します。両側の熱量をそろえる考え方は、ヒートバランスの基本です。

基本式が想定する熱交換の状態

基本的なLMTDの式では、運転が安定し、外部への放熱を無視できる熱交換器を考えます。流体の質量流量と比熱、代表的な熱通過率を一定として扱うことも、計算の前提になります。

起動直後のように機器本体へ熱が蓄えられる時期には、入口出口の熱量差が蓄熱にも使われます。定常運転の性能を見る場合は、温度と流量が落ち着いた時間帯のデータを一組にします。

比熱や熱通過率が大きく変わる場合は、区間ごとに条件を分けた計算が役立ちます。特に気体を大きく加熱する計算では、空気の比熱と加熱量も合わせて整理します。

対数平均温度差LMTDの計算

最初に、高温側入口T_h,in、高温側出口T_h,out、低温側入口T_c,in、低温側出口T_c,outを決めます。次に流れの向きを描き、熱交換器の端Aと端Bにある温度を並べます。

並流は、二つの流体が同じ方向へ流れる方式で、入口同士が同じ端にあります。向流は反対方向へ流れる方式で、高温側の入口と低温側の出口が同じ端に来ます。

図2：同じ端に置かれた二つの温度を引く

①低温入口、②低温出口、③高温入口、④高温出口。向流に変わると低温側の入口と出口が入れ替わります。

図は横にスクロールできます。

端A/Bは場所の名前です。両端の温度差を入れ替えても、LMTDは同じ値になります。

並流は入口同士、出口同士を組み合わせる

並流では、流れ始める端Aで高温入口から低温入口を引きます。反対の端Bでは、高温出口から低温出口を引き、この二つの温度差をLMTDの式へ入れます。

流れ始めでは温度差が大きく、熱交換が進むにつれて両者の温度が近づきます。通常の単相・外部熱源なしの並流では、低温側の出口が高温側の出口を超えることはありません。

出口同士の温度差を小さくしても、入口の大きな差だけが全区間へ続くわけではありません。算術平均で扱ったときに誤差が生じる理由も、このような温度差の変化にあります。

向流は入口と反対側流体の出口を組み合わせる

向流では、高温側入口のある端Aに低温側出口が来ます。端Bには高温側出口と低温側入口が来るため、並流とは低温側の温度を入れる場所が逆になります。

向流では、低温側出口が高温側出口より高くなる温度条件も実現できます。二つの出口は反対の端にあるので、その大小関係だけで熱が低温から高温へ移っているとは判断しません。

見るべきなのは、同じ場所で接する二つの流体の温度差です。例えば高温150→100℃、低温30→120℃の向流なら、両端差は30Kと70Kで、いずれも高温側から低温側へ熱が流れます。

自然対数と温度差の単位をそろえる

式のlnは自然対数であり、底が10の常用対数とは異なります。表計算ソフトではLN関数を使い、温度差の比を括弧の中へ入れると、数式の意味をそのまま再現できます。

温度差では1℃の差と1Kの差が等しいため、150℃と60℃の差は90Kです。温度差の比は無次元なので、分子と分母の温度差を同じ単位で入力することが基本になります。

一方、温度そのものの比を150/60として計算すると、LMTDの式とは別の計算になります。必ず先に両端で引き算し、得られた二つの正の温度差を自然対数の中へ入れます。

対数平均温度差LMTDの使い方

高温流体を150℃から100℃へ冷却し、低温流体を30℃から60℃へ加熱する向流を考えます。伝熱面積は1.5m²、熱通過率は1,000kJ/(m²・h・℃)とした計算例です。

この熱通過率は時間の単位がhなので、求める伝熱量も1時間当たりのkJになります。Wで表された係数を使う計算とは単位が異なるため、数値だけを同じものとして入力しないことが大切です。

図3：向流の例題は同じ位置の温度差90Kと70Kを使う

低温側は右から左へ流れ、30℃で入り60℃で出ます。横軸は両流体に共通の物理的な位置です。

図は横にスクロールできます。

温度曲線は端温度と流れ方向を示す模式図です。線に挟まれた見かけの面積を算術平均する図ではありません。

高温入口の端Aでは150−60、反対の端Bでは100−30を計算します。得られた90Kと70KをLMTDの式へ代入すると、計算途中で丸める前の値は約79.5816Kです。

次に、面積と熱通過率とLMTDを掛けて伝熱量を求めます。79.6Kに丸めた値を使えば119,400kJ/hとなり、未丸め値で計算すると約119,372kJ/hとなります。

kWへ直す場合は、1時間が3,600秒であることを使います。119,400kJ/hを3,600で割ると約33.2kJ/sとなり、1kJ/s＝1kWなので約33.2kWです。

伝熱量と電力を比較する際にも、まずkWへ単位をそろえると扱いやすくなります。電気ヒーターの容量との関係は、ヒーターのワット数と伝熱能力で整理できます。

並流と向流の比較（図解）

同じ四つの端温度を並流として配置すると、入口差は150−30＝120K、出口差は100−60＝40Kです。LMTDは約72.8Kとなり、この温度条件では向流の79.6Kより小さくなります。

二つの算式値では、向流の伝熱量が並流より約9%大きく見えます。ただし、同じ流体・流量と同じ四つの温度なら、流体が失う熱量は熱収支によって決まるため、この二つのQを同時には採用できません。

同じ加熱・冷却の仕事を比べるなら、QとU、四つの端温度を固定して必要面積を比べると明確です。LMTDの大きな向流は、同じ伝熱量をより小さな面積で処理できます。

図4：同じ仕事をさせる比較は必要面積でそろえる

Q＝119,400kJ/h、U＝1,000kJ/(m²・h・K)、四つの端温度を共通にした計算です。

項目	向流	並流
同じ端の温度差	90K・70K	120K・40K
LMTD（未丸め）	79.5816…K	72.8191…K
必要面積 Q/(UΔTlm)	約1.50m²	約1.64m²
面積比（並流を1）	約0.915	1
比較で固定する条件	同じ熱負荷Q・U・入口出口温度。面積を変える。

この例では向流の必要面積が並流より約8.5%小さくなります。圧力損失や構造条件を含む実機の大きさ全体を示す比ではありません。

反対に、同じ交換器と同じ入口温度・流量で流れ方を変える場合は、出口温度も変化します。その場合は熱収支と伝熱式を連立し、必要に応じてε-NTU法などで出口まで求めます。

向流の利点は、平均温度差だけでなく、出口温度をどこまで近づけられるかにも表れます。熱容量流量と限界の関係は、熱交換器の最大交換熱量と合わせると理解が進みます。

算術平均で近似するときの誤差

二つの端温度差が近ければ、算術平均でもLMTDに近い値が得られます。向流の例では90Kと70Kの算術平均が80Kとなり、LMTDの約79.6Kとの差は約0.5%です。

両端差が離れるほど、算術平均はLMTDを大きく見積もるようになります。並流の120Kと40Kでも算術平均は80Kですが、LMTDは約72.8Kなので、差は約9.9%まで広がります。

大きい端温度差を小さい端温度差で割った比が2以下なら、この相対差は約4%以内です。比が2のときは約3.97%となるので、概算の誤差がどの程度かを判断する目安になります。

面積を決める計算では、平均温度差を大きく見積もると必要面積を小さく見積もります。電卓や表計算で自然対数を使える場合は、近似せずLMTDの式から求めると計算根拠が明確になります。

両端の温度差が等しいときはその値になる

ΔT_aとΔT_bが等しいと、基本式は分子も分母も0になり、そのまま入力すると計算エラーになります。この場合のLMTDは、その共通する温度差そのものです。

例えば向流で高温150→100℃、低温50→100℃なら、端Aも端Bも50Kです。全体に同じ温度差が続くモデルなので、対数を使って数値を変える必要はなく、LMTDは50Kになります。

ほぼ等しい値を計算する場合は、引き算した小さな差の桁が失われやすくなります。表計算の表示桁だけで同一と決めず、入力精度と計算精度を分けて、同一の場合の分岐を用意します。

この等差の例で高温側と低温側が同じ幅だけ温度変化するのは、両側の熱容量流量が等しい条件に対応します。温度だけの図でも、熱収支と組み合わせることで流量条件の意味が見えてきます。

温度差がゼロ・負になる場合の読み方

一方の端温度差を正の側から0へ近づけると、もう一方が有限の正値ならLMTDも0へ近づきます。有限のQとUを保つ面積は大きくなり、端で完全に同じ温度へ到達する条件は理想モデルの限界になります。

ただし、式に0を直接入れると温度差の比や対数が定義できなくなるため、通常の数値入力とは分けて扱います。出口温度を上限ぎりぎりへ設定する仕様では、この小さな端温度差が面積を強く左右します。

片方の端温度差だけが負になった場合は、まず入口出口の取り違えとセンサの対応を調べます。通常の高温から低温へ伝える単相モデルでは、同じ端で高温側と低温側が逆転する入力は整合しません。

絶対値を付けて負号を消すと、この不整合も計算結果に隠れてしまいます。異なる位置の二つの出口温度が交差する向流の状態と、同じ端での温度差が負になる状態を分けて見ることが必要です。

凝縮蒸気では一定温度の区間を使う

純物質の飽和蒸気がほぼ一定圧力で凝縮する区間では、高温側の温度を一定として扱えます。低温側の入口と出口の温度が同じなら、並流と向流を入れ替えても、両端温度差の組は変わりません。

例えば蒸気の凝縮温度を120℃、水を30℃から80℃へ加熱する条件とします。両端差は90Kと40Kで、LMTDは約61.7Kとなり、両端差を逆順にしても同じ結果です。

図5：等しい端温度差と、一定温度の凝縮を見分ける

左は向流の両端差が同じ例。右は蒸気が一定温度で凝縮し、水が温まる例です。

図は横にスクロールできます。

右は蒸気の凝縮域のみを一定温度としたモデルです。過熱蒸気の冷却やドレンの過冷却がある場合は、その区間を分けます。

過熱蒸気を冷やす区間や、凝縮後のドレンをさらに冷やす区間では、高温側の温度も変わります。区間の性質を分けると、機器全体を一つの凝縮温度で表すことによるずれを減らせます。

復水器でも、凝縮温度は蒸気側の圧力とつながっています。冷却水の温度条件と真空の関係は、復水器の役割と仕組みで読むと、LMTDの変化を運転条件へ結び付けられます。

多管路や直交流では補正係数Fを使う

実際の交換器には、流体が途中で折り返す多管路や、二つの流れが交差する直交流もあります。単純な向流の温度分布と異なるため、対応する流路構成の補正係数Fを使って平均温度差を補正します。

Fは汚れを見込む係数や、面積へ一律に掛ける余裕率とは別のものです。流路の段数や混合の扱いに合う線図、メーカー計算書、設計用ソフトの条件を使い、計算した構成を明記します。

熱通過率Uも、流体の物性や流速、壁、汚れの熱抵抗で変わります。流路補正と係数の計算を分けたうえで、プレート式熱交換器のU値を整理すると、補正の重複を避けられます。

出口温度が分からないときの進め方

LMTDの基本式は、両流体の入口出口温度が分かる場合に使いやすい方法です。入口温度と流量、UAだけが既知の場合は、未知の出口温度がLMTDの中にも入ってきます。

この場合は熱収支と伝熱式を連立し、出口温度を仮定して反復計算する方法があります。別の進め方として、交換効率εと伝熱単位数NTUを使う方法もあり、既知条件に合う方を選びます。

低温側の出口温度が高温側へ近づくほど、端温度差を正に保つ条件が効いてきます。計算結果は熱収支に戻して確かめ、入力した入口温度・流量・面積と一組で成立しているかを見ます。

実測データでLMTDと交換器の性能を調べる

運転中のLMTDは、4か所の温度計と流量データを組み合わせて求めます。温度の数値だけでなく、計器の取付位置、流れの向き、同じ時刻の値かどうかも記録することが出発点です。

温度計の位置がバイパスとの混合点の前後で違うと、交換器の入口出口を直接表していない場合があります。配管図と現場の計器番号を対応させ、どの流れを測っているかを先に決めます。

両側の熱収支をそろえてからUAを見る

性能の比較では、まず高温側が失う熱と低温側が受け取る熱を計算します。単相で比熱を一定としたモデルなら、各側の質量流量、比熱、入口出口の温度変化の積で求められます。

例えば、高温側を0.50kg/s、比熱2.0kJ/(kg・K)、150→100℃と仮定すると、放出熱は50kWです。低温側を0.40kg/s、比熱4.0kJ/(kg・K)、30→60℃とすると、受熱は48kWになります。

この仮定データでは2kWの差があるため、外部放熱、測定精度、積算時間、温度の変動を順に調べます。熱収支差の許容幅は、計器精度と試験条件を基に設定します。

図6：温度4点と流量を使う性能確認シート

説明用データから得る結果です。熱収支差を残したまま、見掛けUAの意味を読み取ります。

温度の対応

向流：高温150→100℃、低温30→60℃。端A＝90K、端B＝70K、LMTD＝79.5816…K。

高温側から求める熱量

0.50kg/s × 2.0kJ/(kg・K) × 50K＝50kW。

低温側から求める熱量

0.40kg/s × 4.0kJ/(kg・K) × 30K＝48kW。両側差＝2kW。

低温側受熱を基準にした見掛けUA

48kW / 79.5816K ≒ 0.603kW/K。損失や測定差を分けて、同じ定義の過去データと比較する。

面積・流量・比熱は実装置の仕様値ではありません。両側のQが一致していない理由を、Uの低下だけへ結び付けないことが要点です。

UAを求めるときは、どちら側のQを採用したかを記録します。Fを使う交換器ならUA＝Q/(FΔT_lm)とし、補正を省いたUAと補正したUAを同じ列で比較しないようにします。

LMTDの変化と汚れの影響を分ける

LMTDが小さいという事実だけでは、交換器の汚れが増えたとは判断できません。入口温度や流量が変われば、伝熱面が同じ状態でも出口温度とLMTDは変わります。

汚れによる熱抵抗の増加を見る場合は、運転条件と係数の定義をそろえ、Q、LMTD、見掛けUまたはUAを並べます。流量が変わると熱伝達係数も変わるので、流量の変化も同じ表へ残します。

小さな端温度差を測る場面では、センサの指示差が計算結果へ強く効きます。熱電対と測温抵抗体の違いを踏まえ、校正や取付位置の記録をそろえると比較の信頼性が上がります。

交換器の外側から失われる熱も、両側の熱収支差に含まれます。外部放熱が大きい設備では、保温と放熱量の計算を別に行うと、内部の伝熱性能と切り分けやすくなります。

仕様書へ残す温度条件と計算基準

交換器の仕様では、流体名、各側の入口出口温度、流量、熱負荷、流路構成をまとめて記載します。LMTDだけを指定するより、計算の元になる四つの温度がある方が相手へ意図を伝えられます。

通常運転と最大負荷、夏季と冬季など、評価したい条件が複数ある場合は条件表を分けます。温度と流量の最大値を別々の運転状態から集めると、実際には存在しない組み合わせになります。

Uの根拠、汚れの扱い、Fの採用値、面積の内外基準、許容圧力損失も計算結果と一組にします。見積条件の伝え方は、見積仕様書の確認ポイントにもつながります。

必要面積だけで方式を決めるのではなく、清掃、流体の汚れや粘度、設置条件も合わせて選びます。構造の違いは、熱交換器の種類と伝熱能力から整理できます。

対数平均温度差LMTDのよくある質問

なぜ普通の平均ではなく対数平均を使うのですか？

流体間の温度差が場所によって変化し、その温度差に応じて局所的な熱移動も変わるためです。微小部分の熱収支を全伝熱面にわたって積分すると、両端差の対数平均で表せます。

ΔTaとΔTbを逆にすると答えも変わりますか？

二つを同時に入れ替えると、分子と分母の符号がともに反転するため答えは同じです。片側だけ絶対値にしたり、対数の中だけを入れ替えたりせず、式全体の対応を保ちます。

対数平均温度差が0/0になるときはどうしますか？

両端の温度差が等しい場合は、その共通する温度差をLMTDとして使います。両端差50KならLMTDも50Kであり、両端差が異なって片方だけ0になる場合とは分けて扱います。

向流の方が必ず大きいLMTDになりますか？

同じ四つの端温度を比較する液体同士の例では、向流の方が大きなLMTDを取れます。一方、片側が一定温度で凝縮するモデルでは、並流と向流の両端差が入れ替わるだけでLMTDは等しくなります。

LMTDが大きければ交換器の性能も高いのですか？

LMTDは温度条件による熱の伝わりやすさを表し、交換器だけの性能を直接表す値ではありません。伝熱量はUや面積にも依存するので、同じ条件でQ、UまたはUAを合わせて比較します。

入口温度だけでLMTDを計算できますか？

基本式へ直接代入するには、出口温度も含めて両端の温度差を決める必要があります。入口温度と流量、UAが分かる場合は、熱収支との反復計算やε-NTU法で出口温度を先に求めます。

まとめ

対数平均温度差は、熱交換器内で変化する温度差を全体の伝熱計算へ結び付ける代表値です。同じ端にある高温側と低温側の温度を引き、二つの差から自然対数で求めます。

• 並流は入口同士と出口同士、向流は高温入口と低温出口、高温出口と低温入口を組み合わせる
• 両端差が等しければLMTDはその値。片側だけゼロや負になる入力とは分ける
• 伝熱量はQ＝UAΔTlm。補正係数Fが必要な流路では対応するFを使う
• 同じ仕事の比較ではQやUなどの固定条件をそろえ、必要面積を比べる
• 実測性能は温度だけでなく流量、両側熱収支、計器位置をそろえて判断する

計算で迷ったときは、公式へ戻る前に流路と四つの温度を一枚に描くと整理できます。温度の対応、熱収支、単位の順に確かめれば、設計にも運転データの比較にも使える計算になります。

出典

出典・参考資料（6件）を開く

• 日阪製作所：対数平均温度差（LMTD） — 両端の温度対応、同じ温度差の場合、補正係数。
• Alfa Laval：熱交換器とは・伝熱の計算 — 伝熱式、単位、面積と温度条件の関係。
• NPTEL：Mean temperature difference correction factor — 基本仮定と多管路のF。
• JST：伝熱のe-learning FAQ Q19〜21 — 導出、出口未知の計算、一定温度の凝縮。
• 広島大学：伝熱学 第9章 熱交換器の演習解答 — 並流と向流のLMTD計算。
• NPTEL：Condenser design — 一定圧力での純物質の凝縮域。